【2023年】共通テスト数学ＩＡ 問題３ 場合の数と確率の解説（初学者向け）

共通テスト数学Ⅰ・数学Ａの問題３の場合の数と確率の解説です。2023年の場合は場合の数のみの出題です。

【問題文】2023年共通テスト数学ＩＡ（＝画像の出典元）

割とくだけた文章で書いていくので、最低限の解説で理解できる人は予備校の解説（個人的には東●が一番スマート）を見てくださいね。それではいきます！

【目標点】数学が苦手な人：12点、数学が得意な人17点

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【(1)の解説】図Bの球の塗り方の総数

【大前提】場合の数・確率の初見の問題は、記述通りにまずやってみる

場合の数・確率の初見の問題は、まず例を2～3ほど考えて記述通りにやってみることが肝心。少し読めば、順列や組み合わせを使わない＝参考書にはない問題というのがわかるので、イメージを数分でつかむことが求められます。

・・・この「記述通り」が不親切だったり、長かったり、わかりづらいと平均点が恐ろしく下がるんですけどね(*´▽｀*)。

ひもがつながってなければ、同じ色を使ってもOKという感覚をつかむ

さて本題。赤、青、黄、緑、紫の5色から1本のひもがつながっている状態で同じ色を使わなければ、「赤ー青ー赤」みたいな色の使い方もOKです。反対に、「赤ー赤ー青」みたいなのは同じ色が続いているのでダメです。

図Aで、球1の塗り方は5通り、球2の塗り方は4通り4、球3の塗り方は4通り=5×4×4=80だよと教えてくれていることからも、「赤ー青ー赤」はOKなんだな、同じ色はひもがつながってなければOKとイメージすることが大切。

図Bの球の塗り方の総数を求めるには、球4の塗り方がわかればOK。

「赤ー青ー赤－青」はOK。同様に、黄、緑、紫もOK。赤だけがNGです。

念押しでもう一つ。「赤ー青ー黄－赤」はOK。同様に、青、緑、紫もOK。黄だけがNGです。

球4の塗り方は、球3で使用した1色だけがNGになるので、4通りとわかります。

したがって、求める総数は、5×4×4×4=320通りとなります。

【(2)の解説】図Cの球の塗り方の総数

(2)から引っかからないようにしてください。やはり例をいくつか考えてやってみるほうがいいです。

球1と球2がNGになる例は省いていますが、球3がNGになる場合が2つあることに注意。ということは、球3の塗り方は、球1と球2で使った2色以外の3通り。

したがって求める総数は、5×4×3=60通り。

【(3)の解説】図D(特定の色を2色使う場合)の球の塗り方

さて、赤をちょうど2回使う塗り方ときました。まずは、赤を軸に考えていきます。

【OKな場合】

赤	（ほかの色）
（ほかの色）	赤

あるいは、この場合もOKです。

（ほかの色）	赤
赤	（ほかの色）

赤色の塗り方は球1と球3、球2と球4の2通り。無論、赤色同士は区別できないので4通りにはなりません。

他の色は？というと、条件をしっかり思い出してくださいね。

赤色を球1と球3に塗ったときの残りは球2と球4、赤色を球2と球4に塗ったときの残りは球1と球3です。どちらも、ひもがつながっていないので、残り2つの球の塗り方について赤色以外なら同じ色が使用できる＝それぞれ4通りです。

ここも(2)につられて、残り2つの球の塗り方について、うっかり「4通りと3通り」みたいにしないように注意。

（赤色の塗り方）×（残り2つそれぞれの球の塗り方）＝2×4×4=32通りとなります。

【(4)の解説】図Eの球の塗り方の総数（突然出てくる組み合わせ）

さて、図Eでは一転して、部分的に教科書的な問題になります。ネタ切れだったのかな。唯一組み合わせを使います。

(1)～(3)で慣れてきていると思いますが、ここでも、やってみて法則を見つけましょう。

◆OKな例

		黄
赤	赤	赤	青	青

◆NGな例（球1と球2、球1と球3がつながっている）

		赤
赤	赤	黄	青	青

◆NGな例（球1と球6がつながっている）

		青
赤	赤	赤	黄	青

赤は3回、青は2回使うので、球1にこの2色を持ってくると自動でNGです（必ず球2～球6とぶつかる）。このことに書き出して気付けるか？が勝負。同じことをもう一回書きますが、球2～球6は、同じ色が並んでいようが問題なし。

ということは、下記のように整理できます。

• 球1は赤と青以外の3色であること
• 球2～6は赤と青の並び替え（組み合わせ＝同じ色が複数あるパターン）の問題

（球1の選び方）×（球2～6の並び替え＝赤3つと青2つをならべる）＝3×(5C3×2C2)=3×10=30

求める総数は、30通りとなる。

【(5)の解説】誘導の意味を考える

後半も誘導に乗って解いた人が正解できる

すんなり解けた人と、難しく考えてしまった人。(5)は差がつくポイントです。(1)～(4)はルールを理解し、落ちついて素直に解けば正解できると思います。そして後半も素直に誘導に乗るのが正解です。

「よくわからんけど、問題文がそう言ってるんだしそれでいいんじゃね？」とした人は、(6)を捨てたとしても17点をGETした可能性が高いです。

コ：球3と球4が同じ色になるのと同じのはどれか？

図Fで、なんかしらんけど、ひもがちぎれました 笑

それなら、図Bと同じじゃん！と突っ込みたくなりますが、問題文にわざわざ320通りと書いてあります。

ひもがちぎれた球3と球4は、同じ色が使えるので、その場合の数を求める問題。

（ほかの色）	赤
（上とは別のほかの色）	赤

となればOK。球3と球4以外のお隣同士は、ひもがつながっているので、同じ色を使ったらだめです。

最初に球3と球4の色を決める→残りの2つの球の色を決めるの流れで行けそうです。

求める総数は5×4×3=60通り。これは、図Cの60通りと同じなので②が正解です（つまりは、球3と球4が重なっているのと同じ状態。これに気付けないと（６）が解けない）。

・・・というか消去法と勘を駆使しても、当たっちゃいそうですね。少なくとも⓪・③・④は直感で弾けるレベル（※）なので実質２択。さらに、①は同色を使うにしては多くなりすぎそうですよね。これはサービス問題かも。

※⓪はひもが2本、③は問題文が図Dより図Fのほうが多いって言っている、④は図Fと比較するレベル

サシス：図Dの総数を求める

「流れで”コ”で求めた数を引けばいいんだろうなぁ～」って考えた人の勝ちです。理屈から導き出せた人も、努力の賜物です。

結論は、（図Fの総数）－（図Dの球3と球4が同じ場合）＝320－60=260通りが答え。

下記のように、球1と球4、球1と球2、球2と3で同じ色が並ぶパターンを省いて図F（図B）で320通りと求めています。

ということは、図F（＝球3と球4がちぎれている状態）からさらに、球3と球4で同じ色が並ぶ場合を省いたら、結果的に、図Dと同じになるのでは？という仮説・考えがそのまま答えです。

本当に合っているのか？怪しいとは思いつつも、使える時間が15分もないので（単純計算で14分）、これで行くのが現実的です。

誘導を無視するとたぶん大変

逆に、誘導を無視して下の表のように考えて、5×4×4×4=320とした人（5×4×4×3=240となる人もいるかも）。

青（赤以外OK）	赤
赤（青以外OK）	青（赤以外OK）

となった人は、時間を使ったと思います。実際、めんどくさそうです。

結果論ではありますが、答えの260を素因数分解すると、260=2×2×5×13に。13が何者か？わかりませんね。(1)～(3)の考え方が使えないのがわかります。

きちんと考えると、球1と球3が同じ色かどうかで、球2の選べる色の数が変わるので、場合分けすることになりそうです。(2)の三角形のときは、たまたま場合分けが不要（選べる色の数が常に一定）だったので普通に考えてOKでしたが、(5)の四角形からは誘導を無視しちゃうと難しいのがわかります。

【(6)の解説】球が5つになろうとも(5)と同じ要領で場合の数を出す

(5)で変に時間を使ってしまった人は、(6)は捨てるべきです。最悪は、サービス問題のコまでマークして次ですね。

ただ、勘のいい人なら、「球が5つになろうとも(5)と同じ要領で場合の数を出すんだよね？」ってなるはず。

つまりは、下記の流れでOKです。

球4と球5をちぎって、その塗り方の総数を出す

面倒なので五角形ではなく、図Bのような感じで一直線にして考えます。これを図Hとします。

⑤ー①ー②ー③ー④
　　（図H）

球が4つの場合は図Bで求めているのと、球4の塗り方は、やはり図Bと同じやり方で求めればOK。

球4の塗り方は、球3で使用した1色だけがNGになるので、4通りとわかります。

（図Bの総数）×（球4の塗り方）=320×4=1280通りが図Hの塗り方の総数

図Hの球4と球5が同じ色の塗り方の総数を求める

(5)のコで、球4個の端を同じ色にする＝球3個がつながっている状態とわかるので、まったく同じ発想を使います。

⑤ー①ー②ー③ー④
　　（図H）

↓

⑤ー①
｜　｜
③ー②

球4と5を重ね合わせると、図Dと同じになるので、260通り。

（余談）図Dの場合は、「最初に球4と球5の色を決める→残りの3つの球の色を決める」の流れで計算して求めたらダメと教えてくれているので、ここも計算をしない。

まじめにやるなら、球2が球5と同じ色の場合、球2と球5の色が異なる場合で場合分けですね、、、。

図Hの塗り方の総数－図Hの球4と球5が同じ色の塗り方の総数

求める場合の数は、（図Hの塗り方の総数）－（図Hの球4と球5が同じ色の塗り方）の総数なので、

1280-260=1020通りとなります。