ひよコラム数学の確率とパチンコ

期待値とは?計算方法と具体例をわかりやすく解説【高校1年生向け】

どうも!ひよこSE(@PiyoOct)です。

期待値を数Aで勉強したけど、わけわかんない。

「これくらいの値になるだろう」という予想するのが期待値!

さて、「これくらいの値になるだろう」と予想するのが期待値ですが、押さえておくべきポイントは、たった一つ。計算方法だけです。

期待値の計算方法
  • 「確率×なんかの値(サイコロの目・点数とか金額)を全部の事象で求めて足す」

これが理解できていれば、期待値は楽勝です!

スポンサーリンク

期待値とは、平均の予想のようなもの

そもそも、期待値って何?何のために出すの?

「これくらいの値になるだろう」と平均を予想するのが期待値!

期待値とは

平均を予想するために、確率となんかの値をかける

「平均を予想する」ために、期待値というのがあります。

あくまでも予想です。

ってことは、あてにならなかったりする?

・・・その通りです。

実際にどうなるかは、また別問題です。

あくまでも、「●●のようになることが期待できる」っていうのを求めます。

平均と期待値の違い。平均は実際の値で、期待値は予想

平均と期待値って、似ているよね?何が違うの?

期待値は、あくまでも予想。平均は実際の値です!

例えば、テストの平均点をイメージしてください。

平均点を求める方法は、学年なり、クラス内の生徒が取った点数の合計を人数でわってあげれば、求めることができますよね!

(平均点)=(全生徒の合計点)÷(人数)

あるテストで、Aくん50点・Bくん60点・Cちゃん100点なら平均点は、

(50点+60点+100点)÷(3人)=210÷3=70

70点が平均点です。

反対に、期待値は、「予想」です。

予想なので、理論上の値です。

例えば、Aくん50点・Bくん60点・Cちゃん100点を取ったテスト。

難易度が同じようなテストをもう一度すれば、「たぶん平均点は70点」になりますよね。

期待値は、この、「たぶん」を確率を使って求めに行きます。

ここら辺の理屈は、テストには出ないので、これから説明する計算方法だけ知っておけば問題なしです!

期待値の計算方法

期待値の計算方法は、「確率×なんかの値(サイコロの目・点数とか金額)を全部の事象で求めて足すこと」です。

例)1/2の確率で1000円の当たりが出るが、1/2でハズレ、0円となるくじがあったとします。

このくじの期待値は

「確率×なんかの値(サイコロの目・点数とか金額)を全部の事象で求めて足す」

=(当たりが出る確率×1000円)+(ハズレが出る確率×0円)

=(1/2×1000)+(1/2×0)

=500+0=500

期待値とは

計算してあげると、500円となります。

期待値の具体例は?

期待値の身近な具体例は、パチンコとか宝くじ、サイコロの目あたりですね。。。

例えば、サイコロの目は1,2,3,4,5,6の6つ。それぞれの出現確率は、すべて同じ。1/6です。

なので、サイコロの目の数字を期待値にすると、

(1の目が出る確率×1)+(2の目が出る確率×2)+(3の目が出る確率×3)+(4の目が出る確率×4)+(5の目が出る確率×5)+(6の目が出る確率×6)

=(1/6×1)+(1/6×2)+(1/6×3)+(1/6×4)+(1/6×5)+(1/6×5)

=(1+2+3+4+5+6)/6

=21/6=7/2(3.3333333・・・)

サイコロの目の数字を平均すると、3.3くらいになるってことですね!

期待値の暗黙の了解として、整数にならない場合で、問題文に何も書かれてない場合は、約分したうえで分数のままで問題なしです!

期待値の演習問題(文章題)2問

期待値の演習問題(文章題)2問を作ってみたので、チャレンジしてください!

大問1

とあるじゃんけん大会で、参加費の1,000円を支払って、主催者とじゃんけんを行う。

  • 参加者が勝ちの場合は、1,500円
  • あいこの場合は、800円
  • 主催者が勝ちの場合は、400円

上記のように賞金がもらえる場合、次の(1)~(3)の問に答えよ。

(1)このじゃんけん大会で、参加者が得られる賞金の期待値を求めよ

(2)このじゃんけん大会に参加するのは、損であるか得であるかを答えよ

(3)参加費1,000円を上回る期待値となるのは、参加者が勝ちの場合の賞金がいくら以上の場合か?

※ただし、あいこの場合の賞金と、主催者が勝ちの場合の賞金は、変わらないものとする。

大問2

1~6の目が刻まれた、大きさが異なるサイコロが2個ある。

大小2個のサイコロを振ったときに出た数字の積に応じて、下記のように得点をつける。

  • 出た目の積が偶数の場合は、積を1/2して、得点とする。
  • 出た目の積が奇数の場合は、積を2倍して、得点とする。
  • ただし、ゾロ目(2個とも同じ目)の場合は、積ではなく、和を得点とする。

この場合、大小2個のサイコロを振ったときの得点の期待値を求めなさい。

期待値の文章題の回答

期待値の文章題の回答を書きますね!

大問1:いさぎよく書き出す

まとめると、

  • 参加費は1000円
  • 参加者が勝ちなら1500円
  • あいこなら800円
  • 主催者が勝ちの場合は、400円

ですね。

じゃんけんは、知っている人は知ってると思いますが、勝ち・あいこ・負けの確率はすべて同じで、1/3です。

知らなかったとしても、いさぎよく書き出せばOK!

参加者の手主催者の手参加者の勝ち・あいこ・負け
グーグーあいこ
グーチョキ勝ち
グーパー負け
チョキグーあいこ
チョキチョキ勝ち
チョキパー負け
パーグーあいこ
パーチョキ勝ち
パーパー負け

(1)このじゃんけん大会の期待値は、

(1/3×1500)+(1/3×800)+(1/3×400)

=(1500+800+400)/3=2700/3=900

900円(答え)

(2)じゃんけん大会の参加費は、1000円であるのに対して、(1)より期待値は900円。

したがって、参加するのは損である。(答え)

参加するたびに、100円なくなっていく計算・・・

(3)参加者が勝ちの場合の賞金をXとする。

参加費1000円を上回るためには、

(1/3×X)+(1/3×800)+(1/3×400)>1000

(X+800+400)/3>1000

(X+800+400)>3000

X>1800

つまり、賞金の期待値が、参加費を上回る場合は、

参加者が勝ちの場合の賞金が1801円以上(1800円より大きい)となる。(答え)

勝ちの場合の賞金をXとするのは、できてほしい!

大問2:いさぎよく書き出す

  • 大きさが異なるサイコロ
  • 出た目の積が偶数の場合は、積を1/2して、得点とする。
  • 出た目の積が奇数の場合は、積を2倍して、得点とする。
  • ただし、ゾロ目(2個とも同じ目)の場合は、積ではなく、和を得点とする。

このルールで、サイコロの目と得点を書き出すと下記の通りとなる。

サイコロ(小)の目/サイコロ(大)の目123456よこの得点計
1216210324
214345623
3636630960
42468101242
51053010101580
636912151257
たての得点計242360428057286

大きさが異なるサイコロの目が出る確率は、どれも均等で1/6。

なので、サイコロの目のそれぞれの組合せが出る確率も、1/6×1/6=1/36

得点計は、上記の表より、286である。

したがって、求める期待値は

(得点計)×(それぞれの組合せが出る確率)=286/36=143/18

143/18が期待値となる。

全部書き出してしまった方が早い問題もある!

とりあえず、この2問ができれば、期待値の基礎は理解できています!

あとは、順列や組み合わせなどとの、融合問題を演習しながら固めていってくださいね!

コメント

タイトルとURLをコピーしました