ひよコラム 確率や偏差値

組合せとは?計算方法と使う場面をわかりやすく解説!【高校1年生向け】 

どうも!ひよこSE(@PiyoOct)です。

組合せ、わけわかんない。階乗や順列ともごっちゃになった・・・

となってしまった、高校1年生向けに解説します(基礎の基礎なので、受験生向けではないです)。

階乗順列までは、何とか理解できた!」という人も、組合せが出てきた瞬間にごっちゃになるなんてこともしばしば。

ひよこSEが高校生だった時、組合せが一番苦労しましたね。

さて、「組合せとはなにか?」ですが、「Cの前の数字から、Cのうしろの回数だけカウントダウンしながらかけ算。Cの後ろの数字の階乗でわる」と覚えてしまいましょう。

「8C3」なら、「Cの前の8から3回カウントダウンしながらかけ算。Cのうしろの数字の階乗でわる」ので、「(8×7×6)÷(3×2×1)=56」が答え。

Cのうしろの階乗でわるときは、

(8×7×6)÷(3×2×1)=56

「6」と「3×2」のように、割り算の前後(割る側と割られる側)で同じ値になるものを消してやると計算がラクです!

これから、組合せについて、計算方法と使い方について解説するとともに、最後に問題を用意したので解いてみてくださいね!

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組合せとは?計算方法について解説

組合せでよく見る公式たち・・・。

こういうのを考えると難しいので、階乗や順列と同様に、公式は覚えるのやめましょう

この式がテストに出ることはないです。

なので、「組合せとはなにか?」となれば、「Cの前の数字から、Cのうしろの回数だけカウントダウンしながらかけ算。Cの後ろの数字の階乗でわる」と、条件反射的に覚えましょう。

7C3=「Pの前の7から、3回だけカウントダウンしながらかけ算。Cの後ろの3の階乗でわる
=7×6×5÷(3×2×1)=7×6×5÷(3×2×1)=35

たった、これだけです。

冒頭でも言ったようにに、割る側と割られる側で同じ値になるブロックを消してあげると計算が速い!割り算なので、同じものを先に割ってから最後にかけ算!

組合せの計算例

組合せの計算例を挙げます。

こういうのは、見ながら・書きながら覚えていくのが一番!

例えば、

  • 5C3であれば、「Pの前の5から、3回だけカウントダウンしながらかけ算。Cの後ろの3の階乗でわる」
  • 6C4であれば、「Pの前の6から、4回だけカウントダウンしながらかけ算。Cの後ろの4の階乗でわる」
  • 7C5であれば、「Pの前の7から、5回だけカウントダウンしながらかけ算。Cの後ろの5の階乗でわる」
  • 8C1であれば、「Pの前の8から、1回だけカウントダウンしながらかけ算。Cの後ろの1の階乗でわる」

と考えてあげればいいので、

  • 5C3=(5×4 2 ×3)÷(3×2×1)=5×2=10
  • 6C4=(6 3 ×5×4×3)÷(4×3×2×1)=3×5=15
  • 7C5=(7×6 3 ×5×4×3)÷(4×3×2×1)=7×3=21
  • 8C1=8

となります。

組合せを使う場面はどんなとき?

組合せを使う場面ってどんなとき?

っていうのが、わかってないと「8C3=56」みたいに計算できるだけでは、ダメ。

組合せまで習うと、いくらでもひねった文章題が出題できるので、公式の丸暗記は通用しません

キーワードは、並び替える際に

  • 区別できる場合」で、「その中から全部でなく、いくつか選ぶ場合

が、当てはまる場合。

階乗についての記事や、順列についての記事の例とかぶりますが、おさらいをかねて、ここでも例を挙げます。

正直、感覚の部分もあるので、演習しつつ覚えていってください。

■区別できないの場合の例

  • 袋の中の異なる色の玉6つを同時に取り出す場合

「同時に」がキーワード。例えば、異なる6つの色の玉から、赤・青・黄色の3つを選んだだけで並べないときは、順番がつけられないので、組合せ!

■区別できる場合の例

  • トランプのスート(ハート・ダイヤ・クローバー・スペード)を並べる

■「その中から全部でなく、いくつか選ぶ場合」の例

  • 赤・青・黄色・緑・白・黒の6つの異なる色の玉の中から2つを選ぶ

組合せの計算問題・文章題を7問演習

それでは、組合せの計算問題3問、文章題4問の計7問を演習して、知識を固めましょう。

答えは、一番最後に書いておくので、見てくださいね。

組合せの計算問題3問

(1)~(3)の値がいくつになるか答えなさい。

(1)10C3

(2)13C4

(3)11C2

組合せの文章題3問

(4)Aくんは、白・黒・赤・青・黄・緑の異なる色のついた玉を6つ、袋に入れた。

この6つの袋の中の玉の中から3つを選ぶとき、選び方は全部で何通りあるか?

(5)1~9までの数字が書かれたカードがあるとき、次の(ア)~(ウ)について答えなさい。

(ア)カード3枚を選ぶときの選び方の総数と、3枚とも偶数になる選び方はそれぞれ何通りか?

(イ)カード3枚を選んで並べるとき、偶数になる選び方は何通りか?

(ウ)カード3枚を選ぶとき、少なくとも1枚は偶数になる選び方は何通りか?

組合せの計算問題・文章題の答え

(1)10C3=(10×9 3 ×8 4 )÷(3×2×1)=10×3×4=120

(2)13C4=(13×12×11×10 5 )÷(4×3×2×1)=13×11×5=143×5=715

(3)11C2=(11×10 5)÷(2×1)=11×5=55

(4)袋の中にある、白・黒・赤・青・黄・緑の異なる色のついた玉を6つの中から3つを選ぶ方法は、

6C3=(6×5×4)÷(3×2×1)=5×4=20なので、20通りである。(答え)

単に選ぶときは、組合せ!選んで並べるときは、順列!

選んだものすべてが○○ときたら、条件に当てはまる数を確認!

(5)(ア)1~9のカードのうち、3枚を選ぶ選び方の総数は、

9C3=(98 4 ×7)÷(3×2×1)=84(通り)(答え)

また、偶数のカードは2,4,6,8の4枚であり、3枚すべて偶数になる選び方は、偶数のカード4枚の中から3枚を選ぶ選び方と同じである。

したがって、4C3=(4×3×2)÷(3×2×1)=4(通り)(答え)

偶数のカードは4枚があてはまるのはわかるはず。条件に当てはまる4枚から、3枚選ぶのがわかればOK

どこか一か所に条件があるときは、先にピックアップして残りを並べる

(5)(イ)1~9のカードのうち3枚を選んで並べるときに、偶数となる条件は、一の位が2,4,6,8となる並べ方である。

選んで並べるときは、順列をどこかで必ず使う!

この条件を満たす並べ方は、

  • 一の位・・・2,4,6,8の4枚のうち、いずれか1枚を選ぶ(組合せ)
  • 十の位と百の位・・・1~9のうち、一の位で使われなかった8枚のうちから2枚を選んで並べる(順列)

となるので、一の位×十の位・百の位=4C1×8P2=4×8×7=224(通り)(答え)

条件を満たすやつを、先にピックアップして、そこから残りも並べてあげる流れ!

こんな感じで、順列と組合せの融合問題はよく来る!

少なくとも○○ときたら即、反対の場合を考えて引き算

少なくとも○○ときたら即、反対の場合を考えて引き算します。

今回の場合は、「カード3枚を選ぶとき、少なくとも1枚は偶数になる選び方」の反対は、「カード3枚を選ぶとき、すべて奇数になる選び方」になります。

カード3枚を選ぶ総数は、(ア)より、84通り。

カード3枚を選ぶとき、すべて奇数になる選び方は、奇数のカードは5枚なので、

5C3=(5×4×3)÷(3×2×1)=10通り

であり。これは、「カード3枚を選ぶとき、少なくとも1枚は偶数になる選び方」の反対の選び方なので、

(少なくとも1枚は偶数になる選び方)=(総数)-(すべて奇数の選び方)=84-10=74(通り)(答え)

少なくとも○○ときたら即、反対の場合を考えて引き算!これだけは、入試にめちゃくちゃ出る!

組合せについては、以上になります。ここまで読んでくれてありがとうございました。

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